GPT问答

• 物理公式中的 fixed right-hand side 右端强迫项是什么意思?

在物理公式中，"fixed right-hand side"（右端强迫项）是指一个恒定的、已知的、不受其他变量或条件影响的项。它通常表示一个外部施加的力、能量或其他物理量，作为方程的一部分。

这个概念在方程中很常见，特别是在微分方程和偏微分方程中。方程的右端通常表示系统中的外部输入或驱动力。通过将这些驱动力引入方程，我们可以模拟和描述系统对外部激励的响应。

例如，在牛顿第二定律中，我们有 F = ma，其中 F 是力，m 是质量，a 是加速度。如果存在一个恒定的外力，如重力，它在这个方程中可以表示为右端强迫项。

总之，右端强迫项是指在物理公式中表示外部驱动力、输入或其他恒定项的部分，用于描述系统的行为。

• 解释一下 Hilbert spaces?

Hilbert空间是数学中的一个概念，它是一种具有特定结构和性质的向量空间。Hilbert空间在量子力学和函数分析等领域中扮演着重要的角色。 Hilbert空间是一个完备的内积空间，也就是说，它是一个向量空间，其中定义了一个内积运算，并且对于任何序列或极限点，空间中都存在该极限点。内积是一种将两个向量映射到一个复数的运算，并满足线性性、对称性和正定性等性质。 Hilbert空间具有以下特征和性质： 内积：Hilbert空间中的向量对应具有内积运算，使得我们可以定义向量的长度（模）和角度。 完备性：在Hilbert空间中，每个Cauchy序列都有一个唯一的极限点，这意味着空间中不存在收敛序列的极限点缺失。 正交性：Hilbert空间中的向量可以相互正交，也就是说，它们的内积为零。这允许我们在空间中定义正交基和投影操作。 连续性：Hilbert空间中的线性运算和内积运算通常是连续的，这对于分析和求解问题非常有用。 Hilbert空间的例子包括实数和复数的n维向量空间（欧几里德空间）、函数空间（如L²空间和Sobolev空间）、无穷维的希尔伯特空间等。 Hilbert空间的理论提供了一种强大的工具来研究向量空间、内积、正交性、极限以及函数空间的性质。它在量子力学、信号处理、图像处理和控制理论等领域中得到广泛应用。

• 什么是自由度? (degrees of freedom)

在数学和物理学中，"degrees of freedom"（自由度）是指一个系统或问题中独立变化的数量。它表示系统中可以独立变化或操纵的参数或变量的个数。 在不同的领域中，自由度的概念有一些变化。下面是一些常见领域中的自由度的例子： 力学和物体运动：在刚体或粒子的运动中，自由度表示可以独立变化的位置和方向的数量。例如，一个在三维空间中运动的粒子有三个自由度，分别对应于其在x、y和z轴上的位置。 统计学：在统计学中，自由度表示用于估计参数的独立信息的数量。例如，当进行t检验时，样本中的自由度取决于样本的大小，它决定了t分布的形状和临界值。 控制系统：在控制工程中，自由度表示可以被控制或调节的独立输入的数量。例如，对于一个具有多个输入通道的系统，每个通道的独立控制就对应一个自由度。 统计物理学和热力学：在热力学和统计物理学中，自由度表示系统中独立运动的粒子或模式的数量。例如，一个简单的单原子分子气体在三维空间中有三个自由度，分别对应于每个维度上的运动。 总之，自由度是描述系统或问题中独立变化的参数或变量的数量。它在不同的领域中具有不同的含义，但都涉及到系统中可以独立变化的量的概念。

• Fredholm方程是什么?

Fredholm方程是一类积分方程，以瑞典数学家Ivar Fredholm的名字命名。这种方程在数学和物理学中有广泛的应用。 Fredholm方程的一般形式是： $$ \phi(x) = \lambda \int_{a}^{b} K(x,y)\phi(y) dy $$ 其中 \(\phi(x)\)是代求函数，\(f(x)\)是已知函数，\(\lambda\)是常数参数方程目标是找到满足该方程的待求函数\(\phi(x)\) 一类积分方程通常需要通过找到合适的待求函数 \(\phi(x)\) 来满足方程。解决这类方程的方法包括数值方法和解析方法。

数值方法通常使用数值近似技术，将积分方程转化为离散形式，然后通过数值计算来近似求解。这些方法包括数值积分、数值迭代、数值优化等。

解析方法则尝试通过一些特殊的数学技巧，如变换方法、特殊函数的性质和积分方程的特征来求解方程。这些方法通常需要依赖于方程的特殊性质和具体形式，例如分离变量、格林函数、特征值分解等。

一类积分方程在应用中具有广泛的应用，包括物理学、工程学、数学分析、统计学、量子力学等领域。这些方程可以描述许多实际问题，例如电磁场分布、传热问题、声波传播、信号处理、图像重建等。解决一类积分方程可以帮助我们理解和解决这些实际问题。

• 什么是 Nyström’s method? Nyström方法（Nyström's method）是一种用于数值求解积分方程的近似方法。它是根据瑞典数学家Åke Nyström的名字命名的。

Nyström方法主要用于求解第二类Fredholm积分方程。它通过将积分方程中的积分项离散化，将积分转化为求和，从而将积分方程转化为一个线性方程组的求解问题。

具体来说，Nyström方法使用一组节点（或称为采样点）来近似积分，然后通过数值积分公式（如梯形规则或辛普森规则）将积分项转化为对这些节点上函数值的求和。通过在适当的节点上选择合适的权重，可以得到近似方程组。

这样，原始的积分方程问题就转化为求解线性方程组的问题。常见的求解线性方程组的方法（如LU分解、迭代法等）可以用于求解近似的线性方程组，从而得到积分方程的近似解。

Nyström方法在数值分析和科学计算中被广泛应用，特别是在求解积分方程和边界值问题时。它具有计算效率高、数值稳定性好的优点，在实际问题中取得了良好的应用效果。

• 什么是Galerkin space?

Galerkin空间是一种在数值分析和数学物理领域中使用的概念，用于处理偏微分方程的数值逼近和解析性质。 在有限元方法中，Galerkin空间是指由一组选定的试验函数（test functions）构成的函数空间。这些试验函数通常是由多项式函数或分段多项式函数构成的。通过在这个函数空间中寻找逼近解，我们可以将原始的偏微分方程转化为一个代数方程组，进而进行数值求解。 Galerkin方法的基本思想是，选择试验函数空间中的一个函数作为近似解，并将其与方程的残差进行内积。通过使残差在试验函数空间中的内积为零，我们可以得到一个在数值上逼近原始方程解的方程。 Galerkin空间的选择是通过考虑问题的特定性质和求解的要求来确定的。常见的Galerkin空间包括多项式空间、三角函数空间、分段多项式空间等。这些空间的选择取决于所研究问题的几何形状、边界条件以及所需的解的精度和光滑性。 总之，Galerkin空间是在有限元方法和其他数值方法中使用的一种函数空间概念，用于构建逼近解并求解偏微分方程。

论文学习：

Consider a Hilbert space \(\mathcal{H}\) defined on a bounded domain \(\Omega\subset \R^m\) discretized by \(n\) grid points, and \(f\in \mathcal{H}\). \(\mathbf{y}\in \R^{n\times d}\) is the current latent representation for \(n>d>m\) and full column rank. \({Q}_h\subset \mathcal{Q}\subset \mathcal{H}\) and \({V}_h\subset\mathcal{V}\subset \mathcal{H}\) are the latent approximation subspaces spanned by basis functions with the columns of \(Q\) and \(V\) in \eqref{eq:attention-weights} as degrees of freedom, respectively, and \(0<\dim {Q}_h=r\leq \dim{V}_h=d\). Let \(\mathfrak{b}(\cdot, \cdot): \mathcal{V}\times \mathcal{Q}\to \R\) be a continuous bilinear form, and
if for any fixed \(q\in {Q}_h\) the functional norm of \(\mathfrak{b}(\cdot, q)\) is bounded below by \(c>0\), then there exists a learnable map \(g_{\theta}(\cdot)\) that is the composition of the Galerkin-type attention operator with an updated set of projection matrices \(\{W^Q, W^K, W^V\}\), and a pointwise universal approximator, such that for \(f_h\in {Q}_h\) being the best approximation of \(f\) in \(\|\cdot\|_{\mathcal{H}}\) it holds:

$$

|f- g_{\theta}(\mathbf{y})|{\mathcal{H}} \leq c^{-1} \min{q\in {Q}h} \max{v\in {V}h} \frac{|\mathfrak{b}(v,f_h - q)|}{|v|{\mathcal{H}}} +|f-f_h|_{\mathcal{H}}. $$

我的疑问，这个除法项 \(（\frac{|\mathfrak{b}(v,f_h - q)|}{\|v\|_{\mathcal{H}}}）\)是在做什么，我看不懂

chatGPT回答： 这个除法项 \(\frac{|\mathfrak{b}(v,f_h - q)|}{|v|_{\mathcal{H}}}\) 是在计算一个误差项的相对大小。

在这段话中，我们考虑了一个由 \(\mathcal{H}\) 定义的 Hilbert 空间，该空间在有界域 \(\Omega \subset \mathbb{R}^m\) 上离散化，由 \(n\) 个网格点构成，其中 \(f \in \mathcal{H}\)。\(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n \times d}\) 是当前的潜在表示，满足 \(n > d > m\) 且具有满列秩。

\({Q}_h \subset \mathcal{Q} \subset \mathcal{H}\) 和 \({V}_h \subset \mathcal{V} \subset \mathcal{H}\) 是由基函数张成的潜在近似子空间，其中 \(Q\) 和 \(V\) 是权重矩阵的列作为自由度。这里 \(0 < \dim {Q}_h = r \leq \dim {V}_h = d\)。\(\mathfrak{b}(\cdot, \cdot): \mathcal{V} \times \mathcal{Q} \to \mathbb{R}\) 是一个连续双线性形式。

在这个背景下，除法项 \(\frac{|\mathfrak{b}(v,f_h - q)|}{|v|_{\mathcal{H}}}\) 是计算一个误差项在相对尺度上的大小。其中 \(f_h \in {Q}_h\) 是 \(f\) 在 \(|\cdot|_{\mathcal{H}}\) 范数下的最佳逼近。这个除法项的目的是通过将误差项 \(\mathfrak{b}(v,f_h - q)\) 与向量 \(v\) 的范数进行归一化，来度量误差项相对于子空间 \(\mathcal{V}\) 的大小。换句话说，它将误差项除以一个参考向量 \(v\) 的范数，以便比较不同误差项的相对大小。

这个除法项在不同的误差估计和逼近理论中常常出现，它用于衡量误差项与参考向量的比例，以提供关于误差的相对大小的信息。

• 我还是不理解这里的连续双线性形式，以及这个小于等于为什么成立？

在给定的文本中，我们有一个连续双线性形式 \(\mathfrak{b}(\cdot, \cdot): \mathcal{V} \times \mathcal{Q} \to \mathbb{R}\)，其中 \(\mathcal{V}\) 和 \(\mathcal{Q}\) 是函数空间中的子空间。此外，我们假设对于任意固定的 \(q \in {Q}_h\)，函数 \(\mathfrak{b}(\cdot, q)\) 的泛函范数（functional norm）都有一个下界 \(c > 0\)，即 \(|\mathfrak{b}(\cdot, q)|{\mathcal{V'}} \geq c\)，其中 \(\mathcal{V'}\) 是 \(\mathcal{V}\) 的对偶空间。

根据这些假设，我们想要证明不等式 成立。

不等式右侧的第一项是一个最优化问题，即在子空间 \({Q}_h\) 中找到一个函数 \(q\)，使得 \(\mathfrak{b}(v, f_h - q)\) 取得最小值。这个项度量了真实解 \(f\) 和 \({Q}_h\) 中最优逼近 \(f_h\) 之间的差异。

• 为什么 \(h^2(V^TK)_{ij}=A(k_j,v_i)\)？

在给定的文本中，\(A(\cdot, \cdot)\) 和 \(B(\cdot, \cdot)\) 分别是连续的双线性形式（bilinear form）。我们可以将 \(A(\cdot, \cdot)\) 表示为 \(A(u, v) = h^2\sum^n_{i=1}u(x_i)v(y_i)\)，其中 \((u, v) \in \mathbb{K}_h \times \mathbb{V}_h\)，\(x_i\) 和 \(y_i\) 是相应的位置坐标。

另一方面，\(V\) 和 \(K\) 是列向量构成的矩阵，分别表示注意力机制中的值（value）和键（key）。假设 \(V = [v_1, v_2, \ldots, v_d]\)，\(K = [k_1, k_2, \ldots, k_d]\)，其中 \(v_i\) 和 \(k_i\) 分别是值空间和键空间中的列向量。

现在考虑等式 \(h^2(V^TK)_{ij} = A(k_j,v_i)\)。左侧是矩阵乘法的一项，可以展开为：

\(h^2(V^TK){ij} = h^2\sum{l=1}^d (V^T){il}K{lj} = h^2\sum_{l=1}^d V_{li}K_{lj} = h^2\sum_{l=1}^d v_{il}k_{lj}\)。

右侧是 \(A(k_j,v_i)\) 的定义，代入 \(A(\cdot, \cdot)\) 的表达式，我们得到：

\(h^2\sum_{l=1}^d v_{il}k_{lj} = h^2\sum^n_{m=1}k_j(x_m)v_i(y_m) = A(k_j,v_i)\)。

因此，\(h^2(V^TK)_{ij} = A(k_j,v_i)\) 成立。这个等式的意义在于它将注意力机制中值和键之间的内积关系与双线性形式 \(A(\cdot, \cdot)\) 相联系。